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摘要:“常微分方程”是高校數(shù)學(xué)學(xué)科的專業(yè)基礎(chǔ)課程之一。該文以南昌大學(xué)“常微分方程”課程的教學(xué)實踐為例,探討在教學(xué)中如何融入數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家故事、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)文化元素，以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)造性思維和應(yīng)用實踐能力等各方面數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)文化；常微分方程；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

“常微分方程”是本科數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，它是“數(shù)學(xué)分析”“高等代數(shù)”“解析幾何”等基礎(chǔ)課程的理論延續(xù)，也是學(xué)習(xí)“泛函分析”“拓撲學(xué)”“微分方程定性理論”“穩(wěn)定性理論”“數(shù)學(xué)物理方程”和“偏微分方程”等主干課程的必要基礎(chǔ)[1]。南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系面向數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科二年級學(xué)生開設(shè)了“常微分方程”課程，總共授課16周次，共64學(xué)時、4學(xué)分，使用的教材是王高雄等主編的《常微分方程》第三版。通過學(xué)習(xí)這門課程，學(xué)生能夠掌握構(gòu)建常微分方程數(shù)學(xué)模型的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)理論解決實際問題的能力。李大潛先生指出：“數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，特別是主干數(shù)學(xué)課程的數(shù)學(xué)教學(xué)，在講授數(shù)學(xué)知識的同時，將有關(guān)數(shù)學(xué)的重要發(fā)現(xiàn)與發(fā)明擺到當時的歷史環(huán)境中來分析，并結(jié)合現(xiàn)今的發(fā)展及應(yīng)用，揭示它們在數(shù)學(xué)文化層面上的意義及作用，因勢利導(dǎo)，順水推舟，達到畫龍點睛的效果，使學(xué)生在潤物細無聲之情境中得到深刻的啟示。”[2]關(guān)于數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，首屆國家教學(xué)名師顧沛教授提出：“狹義的數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展；廣義的數(shù)學(xué)文化是指除上述內(nèi)涵以外，還包含數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系。”[3]近年來，“常微分方程”的教學(xué)實踐融入了一些數(shù)學(xué)文化元素，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了較好的提升。

1引入數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)家故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

吳文俊先生指出：“如果將數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展、一個領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展、一個理論的興旺和衰落、一個概念的來龍去脈、一種重要思想的產(chǎn)生和影響等許多歷史因素都弄清楚了，對數(shù)學(xué)也會了解得更多，對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會知道得更清楚深刻，還能對數(shù)學(xué)的未來發(fā)展起到指導(dǎo)作用，知道數(shù)學(xué)究竟應(yīng)該朝怎樣的方向發(fā)展才能產(chǎn)生最大的效益。”[4]

1.1常微分方程的發(fā)展歷史。17世紀，牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）創(chuàng)立了微積分學(xué)，之后出現(xiàn)了常微分方程理論。常微分方程的發(fā)展伴隨著解的存在性（Existence）、唯一性（Uniqueness）和穩(wěn)定性（Stability）三大核心問題，大致經(jīng)歷了5個時期：（1）發(fā)展初期以求通解為主要研究目標。比如萊布尼茨利用分離變量法研究一階微分方程的求解問題，伯努利（Bernoulli）數(shù)學(xué)文化融入“常微分方程”教學(xué)的探索與實踐朱能尹建東（南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系江西·南昌330031）方程被提出和求解，歐拉（Euler）利用積分因子法將一階線性微分方程轉(zhuǎn)化為恰當微分方程求解，拉格朗日（La-grange）利用常數(shù)變易法求解非齊次線性微分方程，克萊羅（Clairaut）研究奇解問題等等。（2）定解理論研究時期。比如劉維爾（Liouville）證明了里卡蒂（Riccati）方程不存在一般的初等解，柯西（Cauchy）建立了初值問題解的存在唯一性定理，利普希茨（Lipschitz）條件的提出以及皮卡（Pi-card）逐步逼近法的應(yīng)用等等。（3）解析理論研究時期。主要通過定義一些特殊函數(shù)求解特殊方程,比如貝塞爾（Bessel）方程、勒讓德（Legendre）方程和高斯（Gauss）幾何方程等。（4）定性理論研究時期。這個時期主要以解的大范圍性態(tài)為研究內(nèi)容，這得益于龐加萊（Poincare）創(chuàng)立的定性理論和李雅普諾夫（Lyapunov）創(chuàng)立的運動穩(wěn)定性理論。（5）到20世紀中后葉，隨著計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展，常微分方程進入了求特殊解時期。比如混沌、奇異吸引子和孤立子等一些特殊解的重要發(fā)現(xiàn)。

1.2數(shù)學(xué)家的趣聞軼事。在“常微分方程”教學(xué)中，可以適度穿插數(shù)學(xué)家的奇聞軼事，以較好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如在教學(xué)常微分方程緒論時，介紹德國著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨的故事。17世紀末，萊布尼茨在給牛頓的信中首次提出“微分方程”這個數(shù)學(xué)名詞，并且最早使用分離變量法求解微分方程。萊布尼茨的研究領(lǐng)域非常廣泛，他與同時代的牛頓在不同國家各自創(chuàng)建了微積分學(xué)，發(fā)明了沿用至今的微積分符號，開創(chuàng)了數(shù)理邏輯，提出了二進位制，被后人尊稱為“符號大師”。在教學(xué)伯努利方程求解時，介紹伯努利家族成員的故事。17～18世紀的伯努利家族是一個數(shù)學(xué)家輩出的家族，共出現(xiàn)了10余位數(shù)學(xué)家，其中雅各布（Jakob）、約翰（Johann）和丹尼爾（Daniel）是伯努利家族在微分方程領(lǐng)域貢獻最卓著的三位數(shù)學(xué)家。著名的伯努利方程是由雅各布提出的，他在概率論、微分方程、無窮級數(shù)求和、變分法和解析幾何等領(lǐng)域都有突出貢獻，比如著名的伯努利大數(shù)定律，就是以雅各布的名字命名的。在教學(xué)恰當微分方程和積分因子時，介紹數(shù)學(xué)家歐拉的故事。歐拉是18世紀數(shù)學(xué)界的中心人物，被同時代數(shù)學(xué)家尊稱為“大家的老師”。歐拉的研究領(lǐng)域極其廣泛，在許多學(xué)科領(lǐng)域都能見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。由于在研究天文學(xué)時長期觀測太陽，歐拉的雙眼先后失明。在失明的十余年間，憑借非凡的毅力、驚人的記憶力和心算能力，他完成了生平近一半的著作，且行文流暢，被譽為“數(shù)學(xué)界的莎士比亞”。在教學(xué)非齊次線性微分方程求解時，介紹了數(shù)學(xué)家拉格朗日的故事。拉格朗日在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)中都有極其卓越的貢獻，他促進了數(shù)學(xué)分析及變分法的發(fā)展，為分析力學(xué)和天體力學(xué)發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)，被拿破侖稱贊為“一座高聳在數(shù)學(xué)世界的金字塔”。在教學(xué)柯西問題解的存在唯一性定理時，介紹數(shù)學(xué)家柯西的故事。19世紀初，柯西在微積分中引進了極限概念，為微積分的理論基礎(chǔ)做出了巨大貢獻。柯西是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，年輕時投稿論文一度造成“巴黎紙貴”現(xiàn)象。這些數(shù)學(xué)家的奇聞軼事能夠使學(xué)生得到啟發(fā)，有利于培養(yǎng)學(xué)生持之以恒和勇于創(chuàng)新的學(xué)習(xí)精神。

2剖析數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

剖析“常微分方程”課程的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生能夠較好地掌握常微分方程的理論方法和發(fā)展規(guī)律，逐步形成創(chuàng)新思維并提高創(chuàng)新能力。

2.1化歸思想。化歸思想指將復(fù)雜難解或生疏未知的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為簡單或熟悉已知的問題，從而使原問題得以解決的一種思想方法。化歸思想是常微分方程的重要思想方法，主要使用在一階或高階微分方程的求通解和求解初值問題[1]。一階微分方程求通解問題體現(xiàn)的化歸思想：可化為變量分離方程的類型，根據(jù)方程系數(shù)分類討論，通過適當?shù)淖兞孔儞Q轉(zhuǎn)化為齊次微分方程，進一步經(jīng)變量變換后轉(zhuǎn)化為變量分離方程求通解。伯努利微分方程通過變量變換轉(zhuǎn)化為線性微分方程求通解，而線性微分方程可以利用常數(shù)變易法及通過變量變換轉(zhuǎn)化為變量分離方程，也可以通過積分因子轉(zhuǎn)化為恰當微分方程。一階隱式微分方程須引進參數(shù)變量，將原方程轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)已解出的方程類型，結(jié)合原方程的參數(shù)形式得到原方程的參數(shù)形式通解。高階微分方程求通解問題通常采用這幾種方法：求常系數(shù)齊次線性微分方程基本解組的歐拉待定指數(shù)函數(shù)法（又稱為特征根法)、求常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的比較系數(shù)法和拉普拉斯（Laplace）變換法、求一般非齊次線性微分方程特解的常數(shù)變易法、求一般二階齊次線性微分方程的冪級數(shù)解法。一階微分方程求解初值問題體現(xiàn)的化歸思想：利用皮卡逐步逼近法證明解的存在唯一性定理，將求微分方程初值問題的解轉(zhuǎn)化為求積分方程的連續(xù)解，進一步證明積分方程的解的存在唯一性。對于高階微分方程求解初值問題，其主要思想是通過變量變換將求高階線性微分方程的初值問題的解轉(zhuǎn)化為求一階線性微分方程組的初值問題的解。

2.2逐步逼近思想。一階微分方程初值問題的解的存在唯一性定理是常微分方程理論中最基本的定理，其證明的核心思想是皮卡逐步逼近思想方法。具體分為五個步驟：第一步，證明一階微分方程初值問題y'=f(x,y),y(x0)=y0在區(qū)間[x0-h,x0+h]上的解等階于積分方程y=y0+xx0乙f(x,y)dx在同區(qū)間上的連續(xù)解；第二步，構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列{φn(x)}:φ(x)=y0,φ(x)=y0+xx0乙f(ξ,φn-1(ξ))dξ(n=1,2,…)，并證明此函數(shù)序列在定義區(qū)間上有定義、連續(xù)且滿足|φn(x)-y0|≤b；第三步，證明構(gòu)造的函數(shù)序列在定義區(qū)間上一致收斂；第四步，證明limn→∞φn(x)=φ(x)是積分方程的連續(xù)解；第五步，利用利普希茨條件證明解的唯一性。在教學(xué)中，增加介紹了用壓縮映像原理證明解的存在性，以及借助Gronwall不等式證明解的唯一性，促進了學(xué)生創(chuàng)新思維能力的提升。

3構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，提高應(yīng)用實踐能力

列寧指出：“自然界的統(tǒng)一性顯示在關(guān)于各種現(xiàn)象領(lǐng)域的微分方程式的‘驚人的類似’中。”常微分方程在物理學(xué)、力學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、天文氣象學(xué)、生理醫(yī)學(xué)和電子工程學(xué)等領(lǐng)域都具有重要應(yīng)用，是數(shù)學(xué)理論解決實際問題的有力工具。例如海王星的發(fā)現(xiàn)、放射性物質(zhì)的處理、電磁波的傳播、天氣變化的預(yù)測等，都應(yīng)用了常微分方程[5]。

3.1傳染病模型。對于突然暴發(fā)的各種難以控制的傳染病，為分析受感染人數(shù)的變化趨勢，預(yù)測傳染病傳播的高峰時間，防止傳染病的蔓延，須建立適當?shù)臄?shù)學(xué)模型。本文就一般的傳染病規(guī)律討論傳染病的數(shù)學(xué)模型。傳染病最基礎(chǔ)的SI模型的建立基于三個基本假設(shè)：（1）傳染病傳播期間其地區(qū)不考慮人口的出生、死亡和流動，總?cè)藬?shù)不變；（2）將人群分成易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類，也稱健康者和病人，在時刻t的健康人數(shù)為S(t)和染病人數(shù)為I(t)則有S(t)+I(t)=N；（3）開始染病人數(shù)為I0且一個人染病后經(jīng)久不愈也不會死亡，單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當時的健康人數(shù)成正比，比例常數(shù)為k，也稱為傳染系數(shù)。根據(jù)以上假設(shè)可建立微分方程模型：I'(t)=kI(t)[N-I(t)],I(0)=I0。解得I(t)=NI0[I0+(N-I0)e-kNt]-1。當t→∞時，有I(t)→N表明最后每個人都被染病，這與實際情況不符。在現(xiàn)實生活中，已感染者經(jīng)過隔離或經(jīng)治愈產(chǎn)生免疫或死亡后，都不會將疾病傳給易感染者，因此，SI模型不太符合預(yù)測生活中傳染病的傳播規(guī)律。須考慮更多的實際因素，適當修正SI模型，得出更加復(fù)雜的SIS、SIR、SIRS、SEIR、SEIRS等模型，從而更加準確地預(yù)測傳染病的傳播規(guī)律和發(fā)展趨勢，為預(yù)防和控制傳染病傳播提供理論基礎(chǔ)和數(shù)據(jù)支撐。

3.2人口模型。18世紀末，英國人口統(tǒng)計學(xué)家馬爾薩斯（Malthus）在調(diào)查英國100多年的人口統(tǒng)計資料時，假設(shè)人口增長率r是常數(shù)，建立了著名的人口增長模型：P'(t)=rP(t),P(t0)=P0。其中P(t)表示時刻t的人口數(shù)量，P0是初始時刻t0的人口數(shù)量。解得P(t)=P0er(t-t0)。當r>0時，可知人口數(shù)量按指數(shù)規(guī)律無限增長。但從長期看來，這與實際情況不吻合。由于自然資源和環(huán)境條件的限制，人口增長會減緩。19世紀，荷蘭生物學(xué)家Verhulst引入常數(shù)Pm表示自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)，假設(shè)凈相對增長率為r[1-P(t)/Pm]，即凈相對增長率隨P(t)的增加而減小，直至P(t)趨于Pm時凈增長率趨于零，從而提出了著名的人口阻滯增長模型（也稱Logistic模型）：P'(t)=rP(t)[1-(P(t)/Pm)],P(t0)=P0，其解為P(t)=(P0Pm)/[P0+(Pm-P0)e-r(t-t0)]，該解函數(shù)的圖像呈S型曲線，可見人口增長的速度是先快后慢，隨著時間趨于無窮時，P(t)趨于Pm此模型所描述的人口變化趨勢與實際人口比較吻合。Logistic模型在解決其他實際問題時也有著廣泛應(yīng)用，比如傳染病傳播的控制、新產(chǎn)品的銷售和技術(shù)革新的推廣等。通過對經(jīng)典數(shù)學(xué)模型的分析，引導(dǎo)學(xué)生認識與理解數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，讓學(xué)生探究嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)問題，同時讓他們學(xué)會利用常微分方程數(shù)學(xué)建模思想解決日常生活中遇到的實際問題。這樣既提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)理論水平，又提高了學(xué)生的應(yīng)用實踐能力。

4結(jié)語

南昌大學(xué)將數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家故事、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)文化元素融入“常微分方程”課程教學(xué)，較好地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在今后的教學(xué)中,應(yīng)繼續(xù)探索將數(shù)學(xué)文化融入其他數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)，促使學(xué)生的綜合素養(yǎng)得到全面提高。

作者:朱能 尹建東 單位:南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系