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微積分教學范文1

關鍵詞 指導性 操作性 探究性學習 評價體系

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

1 教學思考

目前三本院校學生大多數學基礎較薄弱，學習微積分積極性不高，數學教學內容應用性不大等普遍現象，教師該合適地處理教學內容，認真地組織教學內容，讓師生關系變得和諧、融洽，使學生更好地學習微積分。我們應該關心尊重學生，有效地與學生交流和溝通，善于激勵學生學習，指導學生在合作交流中學會探究性學習，在具體操作中收到良好的課堂效率，也讓高等數學更好地為今后的學習及工作服務。因此，開展獨立學院微積分教學課題研究具有十分重要的現實意義。

2 微積分教學的指導性和操作性探討

2.1 注意由“引例”向問題情境的過渡

從引例向問題情境的過渡是上好一節數學課的基本前提。數學教學的基本模式是：問題情境建立模型解釋、應用與拓展。這是教學活動展開的起點，是我們為了實現教學目的而營造的教學背景，是學生操作興趣產生的具體條件。

例如：數列極限是微積分教學中的一個重點和難點。教師講授這一部分內容時感覺困難、效果不好；而學生學習這一部分內容時迷茫重重、似懂非懂。注意由“引例”的過渡，尤其一些準確的數字和圖例，可以提高學生學習的興趣，進而提高學習操作的效率。中國數學家劉徽在《九章算術注》中提出“割圓”之說，他從圓內接正六邊形開始，每次把邊數加倍，直至圓內接正96邊形，算得圓周率為3.14或157/50，后人稱之為徽率。書中還記載了圓周率更精確的值3927/1250（等于3.1416）。劉徽斷言“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，其思想與古希臘窮竭法不謀而合。總所周知，古希臘數學取得了非常高的成就，建立了嚴密的演繹體系。然而劉徽的 “割圓術”卻在人類歷史上首次將極限和無窮小分割引入數學證明，成為人類文明史中不朽的篇章。所以吳文俊得到研究成果：“近代數學起源于中國數學”。在數學發展史上，我國勞動人民作出了卓越的貢獻，教育學生學習和發揚為科學獻身的精神，增強學生的愛國熱情，激發學生學習興趣，提高學生操作的信心和決心。

2.2 注重對基礎知識的透徹理解

在教學中，一定要重視對基本東西的深入理解，很多同學覺得微積分中的一些基本概念不容易掌握。如果對于一些難以準確理解的概念、定義、定理，用通俗語言或學生感興趣的話題，學生就會更容易接受。例如：西游記中的內容對微積分知識給予解釋，以“講故事”的方式把內容描述的有聲有色，才能受學生歡迎，取得良好的教學效果。

微積分中定義：以0為極限的變量，稱為無窮小量，亦即對于任意給定的正數，如果在變量的變化過程中，總有那么一個時刻，在那個時刻以后，不等式恒成立，則稱變量為無窮大量，或稱變量趨于無窮大，記作 = 。其中金箍棒在另外一個極限過程中就是一個無窮大量：猴王叫：“大！大！大！”手中那棒，上抵三十三天，下至十八層地獄。例如：對同一個函數 = ，當時， = 。這里把無窮大的兩種+和，都解釋得很形象了。基本概念掌握清楚了，就可以讓學生在操作中，區別無窮大與無窮小是跟數的大小不同之處，少犯把當成無窮小的錯。

2.3 關注差異實現全員參與

在大班授課的情況下，教師不可能針對每個學生的特點施教，要提供適合大多數學生學習風格的教學，同時盡量照顧到不同層次學生不同的學習風格。例題和習題的設計上，應該對于各個層次的學生都富有挑戰性，以喚起學生強烈的求知欲。教師需根據學生的個別差異設置不同的教學目標，注意到既兼顧到學習有困難的學生，避免總給他們以失敗的體驗，挫傷他們的學生自信心和學生興趣，防止扼殺他們的學習熱情，又不影響學習成績優秀生的求知欲望和上進心，使他們在“最近發展區”發揮最大的潛能。

2.4 聯系實際生活，培養學生的操作的能力

要引導學生通過數學活動了解數學與生活的廣泛聯系，引導學生從不同的角度發現實際問題中所包含的豐富的數學信息，探索多種解決問題的方法。學會綜合運用所學知識和方法解決簡單的實際問題，獲得運用數學解決問題的思考方法。老師應注重老教材新教法，善于處理教材，調整教材；充分挖掘了教材的有利因素，增強教材內容的現實性。

最好的討論應該是班級里很多學生都參與發言并彼此討論。例如課本例題：要造一個容量一定的長方體箱子，問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最少？首先讓學生要掌握判別極值存在的條件，會利用條件極值的方法解決問題。接下來可以提問：“如果是圓柱體呢？選擇怎樣的尺寸？”“如果沒有限制容器的形狀，選擇怎樣的形狀和尺寸？”“如果是一個飲料公司，該如何綜合考慮？” 多樣化的探索性問題能夠激發學生不同的認知過程，誘導學生進入一個發現問題，想解決問題的境地，真正使學生全身心投入到新知識的學習和操作之中。

2.5 構建多元評價機制

學習評價關系到學生未來發展，會對學生產生積極或消極的影響力。學生參與學習的熱情、操作的效率與數學學習評價有著直接的關系。學生既是評價的主體，又是評價的客體。教師可以根據教學目標的需要設計學生學業評價的結構，指導學生通過師生評價，自我評價、生生評價等方式，提高課堂學習和操作性的效果。微積分學習中評價應重視學生的探究精神和創新精神，教師應盡可能地使用公平、精確的評價和測量方法來評價學生的學習效果。在課堂中不僅僅是教師對學生的評價，還要引導學生自我評價和相互評價，目的是讓學生認識自己的優勢和弱點，有助于及時發現問題，對教學方案做出適當的調整。如：當同學在課堂練習或者板演時，當學生想出一個思路或一個答案后，鼓勵他們自我檢查、自我評價。當有同學做錯題時不能嘲笑否定他人的成果；對同學提出的簡單問題也不能說三道四；當同學不會解答時真誠地給予幫助。相互評價是對自我評價的一種非常重要的補充，有利于激發評價對象的競爭意識，增進學生間的多向交流，在與同伴學習的比較中認識自我、完善自我。

3 結語

由于不同學生基礎水平、興趣愛好、潛在能力、學習動機、學習方法等存在差異，接受教學內容的情況也就有所不同。我們要制定合理的教育教學目標、運用恰當的教育教學方法、建立適合的教育評價體系、最大限度地提高學生學習的主動性和操作的積極性，使不同層次的學生學有所得、學有所獲。通過教師的指導，讓學生體驗數學活動充滿著探索和創造，感受微積分的嚴謹性以及結論的確定性；通過教師指導，讓學生成為具有初步微積分思想和方法的明智使用者，學會在操作性活動中提出問題，并能通過操作性活動中獲得微積分思想、知識技能和方法，分析解釋并解決一些簡單的現實問題。最終實現大面積提高教育教學質量的目的。

參考文獻

[1] 趙樹.微積分[M].中國人民大學出版社，2009.6.

[2] 吳承恩.西游記[M].岳麓書社，2010.10.

微積分教學范文2

關鍵詞：教學策略；高等數學；微積分

【中圖分類號】G718.5【文獻標識碼】A【文章編號】2236—1879（2017）16—0033—01

在我國大學教學內容體系組成上，高等數學是涉及專業最廣的基礎學科之一，同時也是多年來掛科率最高的學科，其中高等數學微積分又是高等數學中難度最大的部分，需要教師基于學生的實際情況以及高等數學微積分的內容特點采取合理的教學策略展開教學，才可以保障最終的教學效果。基于此，文章在對高等數學微積分進行簡單概述的基礎上，提出了三點高等數學微積分的教學策略，希望可給我國高等數學微積分教師在教學的過程中一定參考，提升高等數學微積分教學水平。

一、高等數學微積分的發展、內容

（一）高等數學微積分的發展。高等數學微積分的誕生與發展可以說是人類對自然進行不斷探索的一個過程。在十七世紀中葉德國數學家萊布尼茨和英國科學家牛頓在對前人探索知識進行總結的基礎上，首次提出了微積分的學說。到十九世紀柯西等法國數學家則是進一步在萊布尼茨和牛頓的微積分學術說的基礎上發展出了極限理論，最終相對完善的微積分理論得以建立，正式形成微積分學科。

（二）高等數學微積分的主要內容。高等數學微積分可分為微分學和積分學兩者。其中微分學包括求導以及微分的計算，主要用于對曲線斜率、加速度以及函數問題的計算；積分學則又分為定積分和不定積分兩者，主要用于對面積、定義體積的計算。隨著微積分的發展，在大學物理力學、幾何學以及天文學中也有一定的學習內容，可以說高等數學微積分是整個微積分學科中十分重要的一個組成部分。

二、高等數學微積分教學策略

（一）注重數學符號及數學語言的應用。對于數學類課程而言，其都是一堆特殊數學符號之間的變換，也可以說是一個數學符號的系統，每一個數學符號都對應著一個相應的數學語言，對于高等數學微積分而言也同時如此。因此，在進行高等數學微積分的教學中，首先便需要教導學生注重對數學符號以及數學語言的應用，這是保障學生學好高等數學微積分的基礎。例如在高等數學微積分公式f（x）（b（=F（b）-F（a）中，這一串數學符號便表達了一個連續函數在[a，b]區間內定積分與其任意一個原函數在[a，b]區間上的改變量相等的意涵。教師教學過程中，也需要重點對該公式所揭示的信息進行講解，讓學生清楚的認知到該公式不僅僅將被積函數的原函數與定積分之間的聯系進行了揭示，同時也會為定積分的計算打下了一個良好的基礎。此外，幫助學生掌握且熟練的使用數學符號和語言，在提升學生對高等數學微積分微積分概念理解的基礎上，還有助于學生課后作業的完成。例如在高等數學微積分中不定積分的換元積分法難度很大，教師在教學的過程中便可以通過數學語言表達的方式向學生進行講解，幫助學生更好理解。

（二）注重對教學方法的歸納與總結。高等數學微積分中計算很多，同時可解題的方式和途徑也很多，靈活多變是高等數學微積分的特點之一。因此，教師在高等數學微積分的教學中還應當避免照本宣科的僅僅依照教材進行講解，而應當將各種教學方法進行歸納和總結，讓學生知其然，更知其所以然。例如在不定積分部分積分法的教學中，例題引導便是最為可取的一種教學方法：

首先明確教學的目的為讓學生理解如何選擇u，v，通過公式uv’dx=uv-u’vdx將不易積積分uv’dx轉換為求積分u’vdx。推導原則為第一步明確v是易求得量；第二步明確u’vdx為易求得量，直接采用導數運算法則或是基本求導公式便可以求出。具體方法如下：

當被積函數是一個多項式x的弦函數時，選擇u為多項式；

當被積函數為一個多項式x的指數函數時，選擇v為多項式；

當被積函數是一個指數函數x的弦函數時，選擇u為弦函數或則指數函數，保障一致性；

當被積函數是一個多項式x的反函數時，選擇u為反函數；

當被積函數含有arccosf（x）、arcsinf（x）、Inf（x）、arccotf（x）、arctanf（x），選擇u=Inf（x）；

通過以上的方式進行部分積分公式的講解，擺脫單一的教材教學方法，進行多種教學方法的歸納使用，可以更好的幫助學生理解部分積分公式，并合理使用。

（三）注重對各個知識模塊間的聯系教學。數學是一個緊密的體系，在數學知識體系中任何一個知識模塊都不是單一存在的，而是和其他知識模塊之間存在著緊密聯系。從目前我國使用最廣的同濟大學所編制的高等數學微積分教材上觀察，受到整體編制內容體系的限制，在對很多高等數學微積分知識點進行陳列時，大部分重要概念之間都是單向的，逆向聯系并沒有完整的展現出來，而這就導致學生在學習某一個知識點時，難以對已經學習過的知識點之間進行聯系，學習的效果也就難以保障。因此，教師在教學的過程中，對于某一個高等數學微積分知識點進行教學的過程中，概念的講解應當將其實際背景進行闡述，將一個概念和另一個概念之間的區別和聯系進行講解，將知識點化為知識網，提升學生的學習效果。

微積分教學范文3

關鍵詞：微積分，教學改革，實踐

獨立學院屬于公益性教育事業，是民辦高等教育的重要組成部分，有效地緩解了我國長期以來的高考升學壓力，截至2016年5月30日，全國共有獨立學院266所。當前，獨立學院的發展建設從加快發展到提升質量的重要過渡期，其中教學質量的提升任務艱巨，而微積分課程作為一門重要的公共基礎課程，其重要性不言而喻。本文將根據獨立學院學生的實際特點，結合作者近十年來的獨立學院的教學工作實踐，分析獨立學院微積分教學過程中主要障礙和應對方法，分享行之有效的教學經驗，推動微積分課程教學改革。

一、獨立學院微積分教學的現狀分析

與校本部微積分教學相比，獨立學院的微積分教學過程中，教與學之間的矛盾更加突出。一方面，學生是教學活動的主體和中心，學生掌握的程度直接決定微積分教學的成敗。但獨立學院學生高中數學知識掌握程度相對薄弱，這就要求授課教師必須適度降低難度要求，這樣容易導致教師常常局限于教研室所指定的微積分教材。另一方面，，因為所采用的教材理論性太強，概念和定理敘述的很抽象，與現實生活距離較遠，如果僅僅局限于教材，又難以激發學生的學習的自信心和積極性。

所以教師首先需要解決的問題是弄清為了滿足不同專業的學生后繼學習的需要，在微積分授課過程中需要講授多少、多深的知識，同時需要弄清學生在微積分學習過程中的興趣點。例如，針對學生對微積分課程的關注點，作者在2016年6月在經管類專業大二學生中開展了調查問卷，其中設計了16個調查項目，根據調查結果，篩選了其中主要的幾個指標列舉如下圖：

從上圖可以看出很多值得探討的問題，比如學生對定理的證明比較排斥，比較傾向于對定理結果的記憶和應用，這與獨立學院學生的知識儲備密切相關的，盡管如此，作者認為在具體的教學過程中，為了讓學生知其所以然，同時汲取必要的高等數學的數學素養，一部分有代表性的關鍵定理仍需詳細講解，如三大中值定理、微積分基本定理、正項級數三大判別法等。同時可以看出在授課過程中需要加強貼近生活的具體應用。還有，實時通訊手段可以提供學生和老師之間課后的溝通和互動，隨時解答學生的學習問題。

二、獨立學院微積分教學改革的途徑

針對獨立學院微積分教學的種種不足，作者通過分析論證，并結合自己的教學實踐，給出如下建議。

1. 與高中數學有效銜接

2003年，教育部基礎教育司開始實行《普通高級中學課程標準（實驗）》，并逐步在全國試用和推廣。函數、數列、解析幾何、數列極限、三角恒等式等知識點的要求，在課改前后都有不同程度的變化。作者在微積分每個章節的教學過程中，首先熟悉高中數學相對應部分的知識背景，結合獨立學院學生的高中數學知識水平，這樣才能有效地把握所講內容的深度和廣度。

比如，在第二章函數導數部分，高中數學要求學生掌握常見函數的導數公式，并要求學生熟練掌握導數符號與函數單調性的關系，所以在微積分教學中適當減少有關導數在函數單調性上的應用的課時。

2. 熟記公式

督促學生熟記基本的、重要的數學公式，其中一部分是中學所學過的，同時在微積分課程中要常用的公式，如三角函數公式、均值不等式、數列相關公式等。另一部分公式則是微積分課程中的重要結果，如導數基本公式及求導法則、不定積分基本公式和衍生公式、基本函數級數展開式等重要公式。

公式的記憶應該在學生對相關知識理解的基礎之上，記憶的好處是大大提高掌握知識的效率。

3.增加生活中的實例

微積分的應用在實際生活中很常見，例如，提問學生為什么水桶通常都是圓柱形，而且水桶的高和底圓直徑相等？再比如，為什么水渠的橫截面是等腰梯形，而且腰邊的傾角接近60度？諸如此類的例子貼近生活，能有效地激發學生的學習興趣。

4.數學建模

鼓勵基礎較好的學生積極參加國內外各類數學建模比賽，不僅激發學生的學習熱情，鍛煉學生實際應用數學理論的綜合能力，同時還可以增強學生的團隊意識和集體精神。

5.豐富教學模式

獨立學院的微積分教學一貫注重教師板書、講解、互動的教學模式，因為每一步的結果都有非常清晰的前后邏輯關聯性。

而另一方面，如果需要反映數學知識動態演變的過程時，單一的板書卻不能清晰的展示，需要借助數學軟件，如幾何畫板、matlab等。比如在講定積分定義的概念時，借助于動畫，可以很清晰的反映出，在積分區間上隨著插入點的增多，小矩形面積的和與曲邊梯形的面積差會越來越小。

6.引入數學史

所有的數學符號、定義、定理、推論、公式，都有其明確的歷史演變的軌跡，必要的數學史的講解，不僅增加學生與數學之間的情感連接，而且可以減輕學生對數學的枯燥印象。比如，著名的“洛必達法則”的真正發現者不是洛必達；我們習慣上把“微分”排在“積分”的前面，其實從微積分的萌芽角度，“積分”是早于“微分”的，而且從微積分理論的成型角度，“積分”仍然是早于“微分”的。

7.建立數學微信群和QQ群

每次授課的核心知識點通過文字或圖片形式放在群中，方便學生加強鞏固。下一次課的重點和難點部分也提前在群中通知，提醒學生提前預習。通信群的另一個重要作用是，學生有問題及時解答，不留死角。

三、結束語

作者從獨立學院學生的實際情況出發，結合自己多年的教學實踐，分析探索了獨立學院教學改革的途徑，并給出了具體的建議，旨在推動獨立學院微積分教學的改革與創新，提高獨立學院學生的競爭力，為社會輸送更多的綜合應用型人才。

參考文獻：

[1]鄭瑞根.高職高等數學教學的認識與實踐[j].中國林業教育，2005（3）：69―71.

[2]嚴永仙.高等數學學習情況的調查與分析[J].浙江師范大學學報：自然科學版，2003（2）：202―205.

微積分教學范文4

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（c）-0171-01

在當今的大學里，微積分的教學幾乎已經進入了一切專業的課堂，其作為基礎素質課的地位越來越高，而微積分在教學上的困難，卻并不因為其重要性和地位的加強而有所改善，多年來，許多數學教師在實踐的基礎上做出了很多改革的嘗試，比如將數學建模的思想與方法融入數學課程的教學中，這雖然增強了課程的實用性和應用性，但是由于學生的數學基礎不均衡和理解力差別的因素，課堂教學效果仍不是太理想，本文試圖從發散思維的角度來指導微積分的教學，以點到面的選取教學素材，從一點進行發散，深入思考，提出各種不同的問題，使學生參與課堂教學，充分調動學生學習的積極性，讓學生對所學課題理解更加透徹，使課堂教學更為有效。

發散思維又稱“擴散思維”或“求異思維”，它是指從事物的某一中心或定點出發，多路擴展，四面散射，展開聯想，提出多種設想并沿著各種不同的途徑去思考，探求多種合乎條件答案的思維。因此，它具有求異性與發散性，是創造性思維的一種重要方式。從宏觀的角度看，在微積分的學習中，最重要的是抓住一條主線：函數―― 極限―― 導數（微分）―― 積分。對每一塊內容，需要我們通過發散思維的方式串聯起其具體內容及理清各知識點之間的關聯，如極限的學習是在理解概念的基礎上，圍繞如何求極限展開，學完這章之后應學會將求極限的方法加以總結與歸納，歸納時發散程度越廣，效果就越好。其它章節可類似使用發散思維進行學習或復習。

在具體的微積分教學中，教師應該充分利用課題素材，運用發散思維的手段，培養學生多角度思考問題、進退互化和選擇最優的三種能力，為以后參加工作打下良好的創新思維基礎。（1）多角度思考問題的能力。在一個數學問題中盡可能多地提出較多設想、多種解決問題途徑與多種有價值的答案。向多方位、多角度進行思考，解決問題時要善于另辟新徑，以期殊途同歸，這能提升我們思維的流暢度，能使我們迅速理解知識的內涵，拓寬現有的思維方式。如數學教學中的一式多變、一題多問、一題多解、一題多變等訓練都是為了提升多角度思考問題的能力。又如在講解第二個重要極限的應用時，引入連續復利問題，可進一步考慮房屋的抵押按揭貸款模型，引導學生從商業貸款，公積金貸款及組合貸款的三種不同利率的條件下，從等額本金，等額本息的角度計算出各種貸款情形下的還款情況，讓學生自主多角度的探索不限于房貸的各種貸款模式，知其然也知其所以然，也可以寫成小論文加以總結和歸納，相互交流，這不僅能提升學生學習的興趣，學以致用，為以后工作中的銀行貸款提供更有效的指導，更加能提高課堂教學效果，達到學好微積分的目的，為后續學習相應的專業課打好堅實的數學基礎。（2）進退互化的能力。通常一個問題是由多種因素及其相互關系決定的，如果改變其中某一因素，或改變因素之間的位置、地位、聯想方式，常常可以產生新的想法和思路。將問題進行進退互化能提高思維的變通性。數學中的變量代換、幾何問題代數化與代數問題幾何化、幾何變換等都屬于這個范疇。對命題而言，可以改變命題的條件或結論；也可以減弱條件，加強結論；或予以特殊化、一般化；還可以進行類比、推廣等，如在講解微分中值定理時，可以引導學生思考當條件改變為函數不連續或函數不可導或改變區間的開閉性質時，結論是否成立，如果不成立，試舉反例說明，這樣學習有利于加深學生對定理的理解。又如在講解用導數的方法求一元函數的最值時，提出具體問題：已知三角形的周長為定值，求其面積的最大值。利用求最值的方法不難得出結果，按進退互化的特點，我們可作出另一些猜測，如：這三角形的面積有最小值嗎？若四邊形的周長為定值時，它的面積有最大值嗎？若封閉平面曲線的周長為定值時，它的面積有最大值嗎？我們也可以突破二維空間的約束因素，提出問題：直平行六面體各棱長之和為定值時，它的體積有最大值嗎？四面體的各棱長之和為定值時，它的體積有最大值嗎？表面積一定時，凸幾何體體積有最大值嗎？還可以逆向思考問題：若三角形面積為定值時，它的周長有最小值嗎？若四面體體積為定值時，它的各棱長之和有最小值嗎？等等。（3）選擇最優的能力，即要求千方百計尋求最優答案以及探索最佳解決問題的途徑，方法要獨特，內容要新穎與簡潔。數學史上許多重大發現正是實現選擇最優的能力的體現。數學教學中尋找簡便證法（如：勾股定理的證明等）、反常規解法以及獨特解法的訓練正是為培養選擇最優的解決問題的能力。如在微積分的教學中，可以充分發動學生的智慧，對極限，導數和積分計算及具體的應用問題，進行一題多解和多題一解的探索，比較得出最優解決問題的方案，這不僅能使學生將各種公式與解題方法融匯貫通，靈活運用，而且有利于學生養成勤于動腦和積極探索，從多種角度去思考問題并解決問題的良好習慣，它能幫助學生在參加工作后提升工作效率。

總之，發散思維能夠使我們串聯起更多的思路與方法，使我們既快又優的提出問題和解決問題。實際上，數學學習往往會由于“思維定式”的強烈作用，使我們總是在一個固有的思維框架中掙扎，而發散思維的運用，則能使我們擺脫思維定式。因此，在具體的微積分的教學中，要鼓勵學生多使用發散思維方法，這不僅可以提升記憶力與理解力，使學習更為牢固，而且可以培養學生的創造力，避免“思維定式”，使微積分的學習顯得更加的生動有趣。

微積分教學范文5

【關鍵詞】極坐標；教學方法

一、極坐標概念的引入

目前的各種高等數學教材中在一元微積分學中幾乎沒有極坐標的影子，如果在教學中能由淺入深，逐步引導學生理解極坐標的思想，并讓他們經常體會到極坐標的有效作用和在許多情況下的方便之處，圓的方程在直角坐標系下表達式比較復雜，但是在極坐標下就變得簡單多了。基于以上原因，在介紹預備知識的時候就引入極坐標，然后在后面的各章中適當舉一些例子，一方面使學生對極坐標不再陌生，另一方面，隨著學習的逐步深入，學生對極坐標的理解會逐步加深，從而逐步把極坐標作為解決問題的一個有力工具。此外，在三重積分的計算中，柱面坐標和球面坐標也是學生的難點，學生理解了極坐標的思想和方法，接受柱面坐標和球面坐標就變得容易了。

二、平面曲線在極坐標下的方程

在利用極坐標求平面區域的面積、平面曲線的弧長以及計算重積分時，都需要知道其中相關曲線的極坐標方程，這個問題對于老師來說當然是非常簡單的問題，但是學生卻常常不能正確地給出曲線的極坐標方程，當然，如果由于學時的問題，我們不可能做到很嚴謹的去從理論上完全進行推導，但是基本的思想和幾何說明可以在十幾、二十分鐘之內完成。對于圓心在原點，半徑為R的圓周來說，我們可以從幾何上利用動點的軌跡解釋為“到原點距離等于常數R的動點的運動軌跡”――即極徑等于常數R的動點的運動軌跡，因此，其極坐標方程為r=R。另一方面若記形成該圓周的動點的直角坐標為（x，y），極坐標為（r， ），則由于二者之間始終滿足關系x=rcos ，y=rsin ，在直角坐標方程下動點滿足的方程學生都很熟悉，是x2+y2=R2，故將該關系式帶入其中就得到動點的極坐標所滿足的方程式，即極坐標方程r=R。如果是圓心在（a，0），半徑為a的圓周，那么在直角坐標下，我們仍然可以用動點軌跡的方法來得到其方程為x2+y2=2ax，但此種情況下就不好用動點的軌跡來得到其極坐標方程了，但是我們不難發現，后一種辦法仍然是適用的。類似的，對于一般的平面曲線而言，如果知道其直角坐標方程y=f（x）或f（x，y）=0，只要利用兩種坐標之間的關系式x=rcos ，y=rsin ，直接帶入并進行整理化簡就可得到曲線的極坐標方程r=r（ ）。

三、在極坐標下計算二重積分時的積分定限問題

如何定限有兩點注意：1.遇到圓域時不要把極角和圓心角搞混了；2.在確定R的變化范圍時，不能簡單地求出最小值和最大值。

如半圓域{}，在計算該區域上的重積分時，我們需要用極角和極徑滿足的一組不等式把這個區域表示為{}的形式，那么這里 和 ，r1（ ）和r2（ ）如何確定？事實上，有同學會把極角 的范圍確定為[0， ]，極徑r的范圍確定為[0，a]。在定勢思維的作用下習慣性地把極角和圓心角等同起來。關于二重積分的計算，關鍵的一個問題就是確定化作累次積分時的積分限，在授課時的方法：對于極點不在區域D內部的情形，先做兩條從極點出發的射線，極角分別為 和 ，使得積分區域D恰好落在這兩條射線所夾的角形區域內且D的邊界與這兩條射線均相切或部分重合（如圖所示），則有 < < ；此時，這兩條射線與D的邊界的交點（或者是重合的部分）把D的邊界分成了兩部分，設靠近極點的部分（不妨稱為內半邊界）方程為r=r1（ ）， 距離極點較遠的部分（不妨稱為外半邊界）方程為r=r2（ ）， 則區域D內的點顯然都在內半邊界之外，而在外半邊界之內，故其極徑的取值范圍應為r1（ ）

四、在極坐標下計算二重積分時的積分區間問題

利用極坐標計算重積分時，如果能把積分區間化成[0， /2]，則計算起來比較方便。在介紹定積分的換元法時，有幾個公式如果強調一下會使利用極坐標進行計算更為方便。比如：，，，n≥2，其中若n是奇數，k=0，若n是偶數，k=1。在利用極坐標計算重積分時，對極角 的積分限常常為[0， /2]、[0， ]或[0，2 ]，此時如能利用上述結果和積分的對稱性等，把區間化成[0， /2]常常會使計算更加簡潔。例如，====。此類例子在計算積分時常常會見到，這些例子來給學生展示極坐標簡單、方便的特性，體現極坐標的優點，對提高極坐標的教學效果會有一定好處。

以上是本人在幾年的教學實踐中積累的一些經驗，其中難免有不妥之處，望同行批評指正，以期共勉。

參考文獻：

微積分教學范文6

關鍵詞：微積分；數學建模思想；教學案例

一、微積分教學中存在的問題

眾所周知，微積分起源于實際問題，從創立之初到后期發展無不與實際問題緊密相連.但是，在當前的微積分教學過程中卻偏重理論體系的完整性和推導過程的嚴謹性，一味灌輸理論知識，不僅缺少實際案例，更沒有與微積分緊密相關的大型案例，使得微積分與現實世界的實例相脫節，既沒能顯示微積分的應用價值，也沒能讓學生感受到微積分的魅力，反而讓學生感到枯燥、難懂，甚至厭學.很多學生學完微積分后，只記得有很多定義、定理和計算公式，根本搞不清楚為什么要學習微積分，也不知道微積分究竟有沒有用.

二、數學建模思想

在知識經濟時代，數學科學的地位正發生巨變，它正在從國家經濟和科技的后備走到了前沿.數學建模思想就是把現實世界中的實際問題轉化為數學模型的一種思想方法.數學模型是一種模擬，是用數學語言對實際問題的內在規律的抽象刻畫，它的建立需要對實際問題做深入細致的研究，并且要結合相關專業知識（工程、生物、經濟等）、數學知識和數學工具.它不僅能解釋某些客觀現象，還能預測其發展規律，或者提供某種意義下的最優策略.

通過體驗數學建模過程，不僅能激發數學學習興趣，增強數學應用意識，還能培養團結協作精神，提高發現、分析和解決問題的能力.我們需要為學生創設一個學數學、用數學的環境，注重將數學建模的思想和方法引入到相關課程中去，提高學生應用數學知識解決實際問題的能力，使學生在問題解決的過程中得到學數學、用數學的實際體驗，加深對數學的理解.

三、數學建模思想在微積分中的應用

如果能在微積分的教學中充分融入數學建模的思想，在講授有關知識點時與相應的數學模型結合起來，這樣就架起了看似枯燥的數學理論與豐富多彩的現實實例之間的橋梁，既不增加額外學時，還豐富了課堂教學，增強學生的應用意識.那如何將微積分與數學建模思想結合在一起呢？下面通過幾個實例說明.

1.一元微積分教學案例

（1）簡單的蛛網模型

問題引入：市場經濟中的循環現象.若去年的豬肉生產量供過于求，豬肉的價格就會降低；價格降低會使今年養豬者減少，使今年豬肉生產量供不應求，于是肉價上揚；價格上揚又使明年豬肉產量增加，造成新的供過于求…….據統計，某城市2010年的豬肉產量為30萬噸，肉價為18元/公斤，2011年生產豬肉25萬噸，肉價為20元/公斤.已知2013年的豬肉產量為28萬噸.若維持目前的消費水平與生產模式，并假定豬肉產量與價格之間是線性關系，問若干年以后豬肉的生產量與價格是否會趨于穩定？若能夠穩定，請求出穩定的生產量和價格.

模型解答：設第n年的豬肉生產量為xn，豬肉價格為yn，由于當年產量確定當年價格，故yn=f（xn），而當年價格又決定第二年的生產量，故xn+1=g（yn）.在經濟學中，yn=f（xn）稱為需求函數，xn+1=g（yn）稱為供應函數，產銷關系呈現出如下過程：

x1y1x2y2x3y3x4y4…

令p1坐標為p1（x1，y1），p2坐標為p2（x2，y1），p3坐標為（x2，y2）， p4坐標為（x3，y2），…，P2k-1坐標為（xk，yk），P2K坐標為（xk+1，yk），k=1，2，…將點p1，p2，p3，…描在平面直角坐標系中，會發現p2k都滿足 x=g（y），p2k-1都滿足y=f（x），畫出圖形，這種關系很像一個蛛網，故被稱為蛛網模型.

（2）海鮮店的訂貨問題

問題引入：某海鮮店離海港較遠，其全部海鮮采購均需通過空運實現.采購部經理每次都為訂貨發愁，因為若一次訂貨太多，所采購的海鮮賣不出去，而賣不出去的海鮮死亡率高且保鮮費用也高；若一次訂貨太少，一個月內訂貨批次比較多，這樣造成訂貨采購運輸費用高，另一方面還有可能會喪失商機.如果你是李老板的助手，請問你打算怎樣幫助他選擇訂貨批量，才能使每月的庫存費與采購訂貨運輸費用的總和最小.

模型解答：現假設該海鮮店每月消耗海鮮a（kg），一個月分若干批進貨，每批采購訂貨運輸費為b元，并設該海鮮店客源穩定，均勻消費，且上批海鮮消費完后，下一批海鮮能立即運到，即平均庫存量為批量的一半，設每月每千克海鮮保鮮庫存費為c元.問如何選擇批量，才能使每月的庫存費與采購訂貨運輸費用的總和最小.設批量為x，采購訂貨運輸費與海鮮保鮮庫存費的總和為p（x）.首先，求出函數p（x）， 2.多元微積分教學案例

（1）射擊命中概率問題

問題引入：炮彈射擊的目標為一正橢圓形區域，當瞄準目標的中心發射時，在縱多因素的影響下，彈著點與目標中心有隨機偏差.可以合理地假設彈著點圍繞中心呈二維正態分布，且偏差在x方向和y方向相互獨立.若橢圓區域在x方向半軸長120 m，y方向半軸長80m，設彈著點偏差的均方差在x方向和y方向均為100 m，試求炮彈落在橢圓形區域內的概率.

模型解答：由于彈著點與目標中心的偏差服從二維正態分布，且在x方向和y方向相互獨立，設目標中心為（0，0），則彈著點（x，y）的 （2）消費者均衡問題

問題引入：當一個消費者用一定數額的錢去購買兩種商品時，分別用多少錢買甲和乙能得到最大的滿意度.經濟學上稱這種最優狀態為消費者均衡.

模型解答：記p1為甲商品的單價，q1為購買甲商品的數量，p2為乙商品的單價，q2為購買乙商品的數量，當消費者占有甲、乙兩種商品的數量分別是q1、q2時的滿意程度，或者說它們給消費者帶來的效用，是q1、q2的函數，記作u（q1，q2），稱為效用函數，顯然u（q1，q2）=c的圖形是無差別曲線族.

上面的實例說明將數學建模思想融入微積分教學是十分必要的.但是，這種數學建模思想的融入不是一朝一夕就能完成的，需要貫穿于微積分教學的全過程.在教學過程中應根據數學理論循序漸進的特點，輔以由易到難的數學模型，二者有機結合，于潛移默化之中提高學生的數學應用能力.

參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]張琪.微積分在數學建模中的應用[J].太原城市職業技術學院學報，2013（06）.

[3]汪凱.微積分課堂教學與數學建模思想[J].科技信息，2011（03）.

基金資助：山東省高等學校教學改革項目（2012484），山東省教育科學規劃2010年重點課題（2010GZ021）。